Меню

Безрисковые ценные бумаги текущая стоимость облигации



Анализ операций с ценными бумагами с Microsoft Excel

2.4 Бессрочные облигации

Согласно отечественному законодательству, срок погашения выпускаемых в стране долговых обязательств не может превышать 30 лет. Таким образом, для существования в России облигаций с более длительным периодом погашения в настоящее время нет даже юридических оснований.

Вместе с тем, бессрочные облигации (perpetuity bond) не являются особой экзотикой в развитых странах. В качестве их эмитентов выступают как правительства, так и крупные корпорации.

Примерами государственных бессрочных облигаций могут служить британские консоли, выпущенные в начале XIX века, а также французская рента. Однако следует отметить, что в настоящее время рынок бессрочных обязательств представлен, в основном, 100-летними облигациями крупнейших корпораций.

В 1996 году фирма IBM стала 21-й компанией, выпустившей 100-летние облигации на общую сумму 850 млн. долларов США . Купонная ставка облигации составляет 7,22%. Это на 80 процентных пунктов выше, чем доходность 30-летних казначейских обязательств правительства. В число эмитентов 100-летних облигаций входят такие всемирно известные корпорации, как “Уолт Дисней”, “Кока-кола” и др.

Как правило, держателями подобных облигаций являются различные фонды и страховые компании, повышая тем самым дюрацию своих инвестиционных портфелей и получая средства для финансирования собственных долгосрочных проектов. Рассмотрим методы оценки бессрочных облигаций.

Доходность бессрочных облигаций

Так как срок обращения подобных облигаций очень большой, для удобства анализа делается допущение о бесконечности приносимых ими периодических доходов . При этом выплата номинала (погашение облигации) в обозримом будущем не ожидается и единственным источником получаемого дохода считаются купонные платежи.

Поскольку купонные доходы по облигации постоянны, а их число очень велико, подобный поток платежей называют вечной рентой или вечным аннуитетом (perpetuity annuity).

Определим текущую доходность Y бессрочной облигации. Она равна:

, (2.20)

где k – годовая ставка купона; N – номинал; P – цена; K – курсовая стоимость (цена).

Для определения доходности к погашению YTM бессрочной облигации можно использовать следующее соотношение:

, (2.21)

где m – число купонных выплат в год.

Нетрудно заметить, что в случае, если купонные выплаты производятся один раз в год, доходность к погашению равна текущей, т.е. при m = 1, YTM = Y . Рассмотрим следующий пример.

Облигация фирмы IBM со сроком обращения 100 лет была куплена по курсу 92,50. Ставка купона равна 7,72%, выплачиваемых раз в полгода. Определить доходность операции .

Y = 100(0,772 / 92,50) » 0,0834, или около 8,3%.

YTM = (1 + (0,772 / 2)(100 / 92,50)) 2 — 1 » 0,0852, или около 8,5%.

Как следует из полученных результатов, и текущая, и доходность к погашению данной облигации выше купонной.

Оценка стоимости бессрочных облигаций

Текущая стоимость бессрочной облигации может быть определена из предположения, что генерируемый ею поток платежей представляет собой вечную ренту (аннуитет). Запишем формулу для определения текущей стоимости PV подобного аннуитета:

. (2.22)

Умножим обе части (2.22) на (1 + r ):

. (2.23)

Вычтем из (2.23) выражение (2.22):

.

Поскольку 1 / (1 + r ) ¥ ® 0, PV ´ r = CF. Откуда:

. (2.24)

Если платежи осуществляются m- раз в год, формула исчисления текущей стоимости вечной ренты примет следующий вид:

. (2.25)

Определим текущую стоимость 100 единиц облигации из примера 2.14, исходя из требуемой нормы доходности в 8,5%.

Таким образом, при YTM = 8,5%, цена, уплаченная за облигацию в примере 2.14, была несколько ниже ее текущей стоимости.

Рассмотренные методы оценки могут быть также использованы для анализа привилегированных или обыкновенных акций, если по ним выплачивается постоянный дивиденд . Поскольку акции не имеют установленного срока обращения, их владельцы имеют право на получение дивидендов до тех пор, пока предприятие-эмитент функционирует. В случае регулярных постоянных выплат по акции, генерируемый ею денежный поток можно условно считать вечной рентой, для анализа которой можно использовать соотношения (2.20 – 2.25).

Применение ППП EXCEL в процессе анализа бессрочных облигаций обеспечивает большую точность и гибкость вычислений. Вместе с тем, специальные функции для работы с бессрочными, или приравниваемым к ним обязательствами, в ППП EXCEL отсутствуют.

Для автоматизации выполнения соответствующих расчетов может быть использован шаблон, реализующий анализ купонных облигаций, либо разработанный нами в первой главе шаблон для анализа аннуитетов.

В качестве упражнения, попробуйте самостоятельно разработать специальный шаблон для анализа бессрочных облигаций, путем реализации средствами ППП EXCEL соотношений (2.20 — 2.25).

Источник

Анализ операций с ценными бумагами с Microsoft Excel

2.2.2 Определение стоимости облигаций с фиксированным купоном

Нетрудно заметить, что денежный поток, генерируемый подобными ценными бумагами представляет собой аннуитет, к которому в конце срока операции прибавляется дисконтированная номинальная стоимость облигации.

Определим современную (текущую) стоимость такого потока:

, (2.6)

где F – сумма погашения (как правило – номинал, т.е. F = N ); k – годовая ставка купона; r – рыночная ставка (норма дисконта); n – срок облигации; N – номинал; m – число купонных выплат в году.

Определить текущую стоимость трехлетней облигации с номиналом в 1000 и купонной ставкой 8%, выплачиваемых 4 раза в год , если норма дисконта (рыночная ставка) равна 12%.

.

Таким образом, норма доходности в 12% по данной операции будет обеспечена при покупке облигации по цене, приблизительно равной 900,46.

Соотношение (2.6) представляет собой базовую основу для оценки инвестором стоимости облигации.

Определим текущую стоимость облигации из примера 2.4, при условии, что норма дисконта равна 6%.

.

Нетрудно заметить, что текущая стоимость облигации зависит от величины рыночной процентной ставки (требуемой нормы доходности) и срока погашения. Причем зависимость эта обратная. Из базовой модели оценки могут быть выведены две группы теорем, которые приводятся ниже без доказательств [16].

Первая группа теорем отражает взаимосвязи между стоимостью облигации, ставкой купона и рыночной ставкой (нормой доходности):


если рыночная ставка (норма доходности) выше ставки купона, текущая стоимость облигации будет меньше номинала (т.е. облигация будет продаваться с дисконтом);

если рыночная ставка (норма доходности) меньше ставки купона, текущая стоимость облигации будет больше номинала (т.е. облигация будет продаваться с премией);

  • при равенстве купонной и рыночной ставок текущая стоимость облигации равна номиналу.
  • Рассмотренный выше пример 2.4 может служить практической иллюстрацией справедливости изложенных положений.

    Вторая группа теорем характеризует связь между стоимостью облигации и сроком ее погашения:


    если рыночная ставка (норма доходности) выше ставки купона, сумма дисконта по облигации будет уменьшаться по мере приближения срока погашения;

    если рыночная ставка (норма доходности) меньше ставки купона, величина премии по облигации будет уменьшаться по мере приближения срока погашения;

  • чем больше срок обращения облигации, тем чувствительнее ее цена к изменениям рыночной ставки.
  • Приведенные положения требуют более детального рассмотрения. Для упрощения будем полагать, что выплата купона производится раз в год.

    Срок обращения облигации с номиналом в 1000,00 составляет 10 лет . Ставка купона, выплачиваемая раз в год, равна 15 %. Определить стоимость облигации, если :

    а) рыночная ставка (требуемая норма доходности) равна 22%;

    б) рыночная ставка (требуемая норма доходности) равна 10%.

    Для иллюстрации чувствительности стоимости облигации к сроку погашения воспользуемся специальным инструментом ППП EXCEL – «Таблица подстановки». Автоматизация анализа чувствительности

    Пакеты прикладных программ, реализующие функции табличных процессоров, идеально подходят для анализа проблем вида «что будет, если». Наиболее развитые табличные процессоры, включают в себя специальные средства для автоматизации решения таких задач. ППП EXCEL также не является исключением и предоставляет пользователю широкие возможности по моделированию подобных расчетов. Для этого в нем реализовано специальное средство – «Таблица подстановки» .

    Применение таблиц подстановки позволяет быстро рассчитать, просмотреть и сравнить влияние на результат любого количества вариаций одного показателя. В ППП EXCEL существует два типа таблиц подстановок:


    с одним входом – для анализа влияния одного показателя;

  • с двумя входами – для анализа влияния двух показателей одновременно.
  • Для реализации типовой процедуры анализа чувствительности в рассматриваемом примере будет использоваться первый тип таблиц подстановок – с одним входом.

    Фрагмент ЭТ для решения первого условия примера 2.5 приведен на рис. 2.2.

    Рис. 2.2. Фрагмент ЭТ для первого условия примера 2.5

    Для подготовки этой таблицы необходимо выполнить следующие действия.

    Заполнить ячейки В3.В6 исходными данными (рис. 2.2).

    Ввести в ячейку С9 формулу: -ПЗ(B6;B4;B3*B5;B3).

    Заполнить ячейки В10.В20 числами от 10 до 0.

    Выделить блок ячеек В9.С20.

    Выбрать из темы «Данные» главного меню пункт «Таблица подстановки». На экране появится окно диалога (рис. 2.3).

    Установить курсор в поле «Ячейка ввода столбца» и ввести имя ячейки, содержащей входной параметр (ячейка В4).

    Нажать кнопку «ОК».

    Ввести в ячейку D10 формулу: =1000-C10.

  • Скопировать ячейку D10 в блок D11.D20.
  • Аналогичная таблица, реализующая расчеты для второго случая, представлена на рис. 2.4. Вам предлагается разработать ее самостоятельно.

    Рис. 2.3. Диалоговое окно «Таблица подстановки»

    Рис. 2.4. Фрагмент ЭТ для второго условия примера 2.5

    Приведенные таблицы наглядно демонстрирует справедливость положений первых двух теорем рассматриваемой группы. Графическая интерпретация теорем показана на рис. 2.5.

    Рис. 2.5. Зависимость стоимости облигации от срока погашения

    Исследования чувствительности текущей стоимости облигации к изменениям рыночной процентной ставки (нормы доходности) проведем на следующем примере.

    Рассматривается возможность приобретения облигаций «В» и «С», характеристики которых приведены в табл. 2.2.

    Таблица 2.2
    Характеристики облигаций «В» и «С»

    Источник

    Ценообразование облигаций: модели и меры доходности

    Временна’я стоимость денег

    Понятие временной стоимости денег — важнейший принцип, лежащий в основе анализа любого финансового инструмента. Деньги обладают временной стоимостью, поскольку могут быть инвестированы под некий процент.

    Будущая стоимость

    Определить будущую стоимость любой суммы денег, инвестированной в настоящий момент, можно по формуле:

    где:
    n — число периодов;
    Pn — будущая стоимость через n периодов, считая с настоящего момента (в долларах);
    P — номинальная стоимость (в долларах);
    r — процентная ставка на один период (в десятичных дробях).

    Выражение (1+r) n представляет будущую стоимость одного доллара, инвестированного в настоящий момент на n периодов под процентную ставку r.

    Читайте также:  283 иос облигация сбербанка

    Предположим, что менеджер пенсионного фонда инвестирует $10 млн в финансовый инструмент, который в течение шести лет должен приносить 9,2% ежегодно. Будущая стоимость $10 млн будет равна $16 956 500, поскольку:

    Р6 = $10 000 000 х 1,092 6 = $10 000 000 х 1,69565 = $16 956 500.

    Из приведенного примера видно, как подсчитывать будущую стоимость в случае, когда процент выплачивается один раз в год (т. е. величина периода равна числу лет). Если процент выплачивается чаще, чем раз в год, то как величина процентной ставки, так и число периодов, используемых для расчета будущей стоимости, должны быть уточнены следующим образом:

    r = ставка в процентах годовых / количество процентных выплат в год;
    n = количество процентных выплат в год х число лет.

    Допустим, что портфельный менеджер из первого примера инвестирует свои $10 млн в финансовый инструмент, который в течение шести лет должен приносить 9,2% ежегодно, однако процентные выплаты осуществляются раз в шесть месяцев (т. е. дважды в год). В этом случае:

    r = 0,092 / 2 = 0,046
    n = 2 х 6 = 12

    P12 = $10 000 000 х 1,0461 2 = $10 000 000 х 1,71546 = $17 154 600.

    Обратите внимание на то, что будущая стоимость $10 млн в ситуации, когда процент выплачивается раз в полгода ($17 154 600), больше, чем в случае процентных выплат раз в год ($16 956 500), несмотря на то что обе инвестиции осуществляются под один и тот же годовой процент. Более высокая будущая стоимость суммы, вложенной под процент, выплачиваемый раз в полгода, отражает более выгодные возможности реинвестирования получаемых процентных платежей.

    Будущая стоимость обычного аннуитета

    Периодически инвестируемая неизменная сумма денег носит название аннуитета. Если первая инвестиция осуществляется через один период, считая от настоящего момента, принято говорить об обычном аннуитете. Будущая стоимость обычного аннуитета может быть найдена путем вычисления будущей стоимости каждой из инвестиций в момент окончания инвестиционного горизонта, а затем сложения полученных будущих стоимостей. Будущую стоимость обычного аннуитета легче, однако, рассчитать по формуле:

    (2)

    где А — размер аннуитета (в долларах). Выражение в скобках — это будущая стоимость обычного аннуитета, равного $1 на момент окончания n периодов.

    Применение формулы хорошо иллюстрирует следующий пример: допустим, что портфельный менеджер приобретает облигации номинальной стоимостью $20 млн, которые в течение 15 лет должны приносить 10% годовых. Эмитент осуществляет купонные выплаты раз в год, первый платеж будет совершен через год. Сколько получит портфельный менеджер при условии, что он: 1) останется держателем облигации до даты погашения, т. е. все 15 лет, и 2) будет инвестировать ежегодные купонные выплаты под годовую ставку 8%?

    Через 15 лет портфельный менеджер станет обладателем:

    1. $20 млн в момент погашения облигации;
    2. 15 ежегодных купонных выплат по $2 000 000 каждая (0,10 х $20 млн);
    3. процента, полученного от инвестирования ежегодных купонных выплат под 8% годовых.

    Сумму пунктов 2 и 3 можно вычислить, применив формулу (2). В нашем примере аннуитет составляет $2 млн в год. Таким образом:

    А = $2 000 000
    r = 0,08
    n = 15

    P15 = $2 000 000 ((1,08 15 -1) / 0,08) = $2000000 х 27,152125 = $54304250.

    Будущая стоимость обычного аннуитета, равного $2 000 000 в год, в течение 15 лет инвестируемого под 8%, составляет $54 304 250. Поскольку $30 000 000 (15 х $2 000 000) этой будущей стоимости представляют собой ежегодные купонные выплаты (в долларах), осуществляемые эмитентом и инвестируемые портфельным менеджером, баланс в размере $24 304 250 ($54 304 250 — $30 000 000) — это процент, полученный от реинвестирования данных ежегодных купонных выплат. Таким образом, общая сумма (в долларах), которую портфельный менеджер получит через 15 лет от совершенных инвестиций, окажется равна:

    Давайте снова проведем анализ данной облигации, предположив на этот раз, что при той же годовой ставке купонные выплаты осуществляются раз в шесть месяцев; первая выплата произойдет через полгода и будет немедленно реинвестирована. Допустим, что получаемые раз в полгода купонные выплаты могут быть реинвестированы под 8% годовых.

    Купонные выплаты, получаемые раз в полгода, составляют $1 000 000 каждая. Будущая стоимость 30 полугодовых купонных выплат по $1 000 000 плюс процент, получаемый от инвестирования купонных выплат, подсчитывается следующим образом:

    А = $1000000;
    r = 0,08 / 2 = 0,04;
    n = 15 х 2 = 30;
    P30 = $1000000 ((1,043 30 — 1) / 0,04) = $1000000 x 56,085 = $56 085 000.

    Поскольку купонные выплаты составляют $30 000 000, процент, получаемый от реинвестирования купонных выплат равен $26 085 000. Возможность более часто совершать реинвестирование купонных выплат — причина того, что полученная от реинвестиций сумма ($26 085 000) оказалась больше, чем сумма ($24 304 250), принесенная реинвестированием купонных выплат, осуществляемых раз в год.

    Таким образом, общая сумма (в долларах), которую портфельный менеджер получит через 15 лет от совершенных инвестиций, окажется равна:

    Приведенная стоимость

    Мы показали, как можно вычислить будущую стоимость инвестиций. Объясним теперь обратный процесс, а именно: как определить количество денег, которые надо вложить сегодня для получения определенной стоимости в будущем. Такая сумма денег получила название приведенной стоимости. Поскольку, как будет сказано далее в этой главе, цена любого финансового инструмента — это приведенная стоимость его предполагаемого денежного потока, понятие приведенной стоимости необходимо уяснить всякому инвестору, желающему разобраться в механизме ценообразования инструментов с фиксированным доходом.

    Итак, мы хотим узнать, каким образом определить размер денежной суммы, которую надо инвестировать сегодня под процент г, выплачиваемый раз в период в течение n периодов, чтобы получить заданную будущую стоимость. Формула вычисления может быть получена из формулы (1), предназначенной для подсчета будущей стоимости инвестиции (Р):

    Заменим Р на приведенную стоимость (PV) и получим:

    (3)

    Выражение в скобках — это приведенная стоимость одного доллара. Оно показывает, сколько должно быть вложено сегодня, для того чтобы через n периодов получить $1 при условии существования процентных ставок, равных r, в течение каждого периода.

    Процесс вычисления приведенной стоимости носит название дисконтирования. Приведенная стоимость, таким образом, иногда называется дисконтированной стоимостью, а процентные ставки — дисконтными ставками.

    Продемонстрируем действие формулы (3) на конкретном примере. Допустим, что портфельный менеджер может приобрести финансовый инструмент, который через семь лет принесет $5 млн при отсутствии промежуточных денежных потоков. Портфельный менеджер хочет получать на свои инвестиции 10% годовых. Приведенная стоимость инвестиций должна быть подсчитана как:

    r = 0,10;
    n = 7;
    P7 = $5 000 000;
    PV = $5 000 000 (1 / 1,10 7 ) = $5 000 000 x 0,513158 = $2565791.

    Оказывается, что инвестирование в настоящий момент суммы $2 565 791 под 10% годовых через семь лет принесет $5 млн. Допустим, что данный финансовый инструмент продается дороже, чем за $2 556 791. Это значит, что, купив его по цене, превышающей $2 565 791, портфельный менеджер получит от своих инвестиций меньше чем 10% годовых. И наоборот: если финансовый инструмент продается дешевле, чем за $2 565 791, портфельный менеджер получит от своих инвестиций больше чем 10% годовых.

    Существуют два основных свойства приведенной стоимости, которые читатель должен себе уяснить. Во-первых: для данной будущей стоимости в установленный момент времени в будущем, чем выше процентные (или дисконтные) ставки, тем ниже приведенная стоимость. Причина падения приведенной стоимости с ростом процентных ставок легко объяснима: чем больше процентные ставки, под которые совершаются в настоящий момент инвестиции, тем меньшая сумма денег должна быть вложена, чтобы получить заданную будущую стоимость.

    Второе свойство приведенной стоимости: при данных процентных (дисконтных) ставках, чем длиннее временной горизонт, по окончании которого должна быть получена будущая стоимость, тем ниже приведенная стоимость. Описанный эффект объясняется следующим образом: на более продолжительном отрезке времени успевает накопиться большая сумма процентных выплат. Таким образом, начальная инвестируемая сумма может быть меньше.

    Приведенная стоимость серии будущих стоимостей

    В большинстве встречающихся в ходе управления портфелем ситуаций финансовый инструмент генерирует серию будущих стоимостей. Определить приведенную стоимость серии будущих стоимостей можно, если подсчитать сначала приведенную стоимость каждой из будущих стоимостей. Затем, для вычисления приведенной стоимости всей серии в целом, следует сложить полученные значения будущих стоимостей.

    Формула в этом случае будет выглядеть так:

    Предположим, например, что портфельный менеджер собирается купить финансовый инструмент, от которого следует ожидать следующие выплаты:

    Допустим, что портфельный менеджер хотел бы инвестировать под 6,25% годовых. Приведенная стоимость данной инвестиции может быть вычислена следующим образом:

    Приведенная стоимость обычного аннуитета

    Неизменная сумма денег (в долларах), получаемая через равные промежутки времени или выплачиваемая раз в год, называется аннуитетом. Если первую выплату инвестор получает через один период, считая с настоящего момента, аннуитет называется обычным. Существует также форма немедленной выплаты, которую, однако, мы не будем здесь рассматривать: в данной книге речь пойдет только об обычном аннуитете.

    Вычисление приведенной стоимости обычного аннуитета производится следующим образом: сначала подсчитываются приведенные стоимости каждой из будущих стоимостей, затем все полученные значения суммируются. Возможно также использование следующей формулы:

    (5)

    где А — размер аннуитета (в долларах). Выражение в скобках — это приведенная стоимость обычного аннуитета, равного $1, для n периодов.

    Предположим, что от своих инвестиций инвестор в течение восьми лет рассчитывает получать по $100 в конце каждого года; дисконтная ставка, используемая для дисконтирования, равна 9%. Приведенная стоимость такого обычного аннуитета составит:

    A = $100;
    r = 0,09;
    n = 8;
    PV = $100((1-1/1,09 8 ) / 0,09) = $100 x 5,534811 = $553,48.

    Приведенная стоимость в случае выплат, производимых чаще одного раза в год

    Вычисляя приведенную стоимость, мы предполагали, что будущая стоимость будет выплачена или получена раз в год. В реальной практике между тем будущую стоимость инвестор может получать чаще, чем раз в год. В подобной ситуации формулу, принятую нами для установления значения приведенной стоимости, следует уточнить. Во-первых, годовая процентная ставка делится на количество выплат в год (в действительности, такой метод уточнения величины процентной ставки не является корректным). Так, если будущие стоимости выплачиваются раз в полгода, годовая процентная ставка делится на 2; если они выплачиваются раз в квартал, годовую процентную ставку следует делить на 4. Во-вторых, число периодов, в течение которых инвестор будет получать будущую стоимость, должно быть уточнено путем умножения числа лет на количество выплат в год.

    Читайте также:  Американские облигации стоит ли покупать

    Ценообразование облигации

    Цена любого финансового инструмента равна приведенной стоимости предполагаемого денежного потока от данного финансового инструмента. Таким образом, для определения цены следует знать:

    1. размер предполагаемых денежных потоков;
    2. величину подходящей требуемой доходности (требуемой ставки).

    Предполагаемые денежные потоки для одних финансовых инструментов вычисляются легко, для других — с большей сложностью. Требуемая доходность — это величина, отражающая доходность финансовых инструментов со сравнимым риском, иными словами — доходность альтернативных инвестиций.

    Первый шаг, который мы делаем, приступая к определению цены облигации, — определение ее денежных потоков. Денежные потоки от облигации, которую эмитент не имеет права погасить до установленной даты погашения (т. е. облигация без встроенных опционов), состоят из:

    1. периодических купонных выплат, осуществляемых вплоть до даты погашения;
    2. номинальной стоимости (стоимости погашения), получаемой в момент погашения облигации.

    Для упрощения анализа механизма ценообразования облигаций, договоримся считать действительными три утверждения:

    1. Купонные выплаты осуществляются раз в полгода (по большинству американских облигаций купон действительно выплачивается раз в шесть месяцев).
    2. Ближайшая выплата купона состоится ровно через шесть месяцев.
    3. Купонная ставка фиксирована на весь срок до погашения облигации.

    Итак, денежный поток облигации без встроенных опционов состоит из аннуитета фиксированных купонных выплат, получаемых раз в полгода, и номинальной стоимости. 20-летняя облигация с купонной ставкой 10% и номиналом $1000 от купонных выплат получит следующий денежный поток:

    купонная выплата за год = $1000 х 0,10 = $100; купонная выплата за полгода = $100/2 = $50.

    Таким образом, существует 40 денежных потоков по $50, получаемых каждые полгода, и денежный поток, равный $1000, который будет получен через 40 полугодовых периодов. Обратите внимание на то, как поступают с номинальной стоимостью. Мы не говорим, что получим ее через 20 лет. Номинал учитывают точно так же, как и купонные платежи, которые являются полугодовыми.

    Требуемая доходность выясняется после изучения рыночных доходностей облигаций, сравнимых с нашей. Под сравнимыми понимаются облигации без встроенных опционов, имеющие то же кредитное качество и тот же срок до погашения. Требуемая доходность, как правило, выражается в процентах годовых. В ситуации, когда денежные потоки поступают раз в полгода, в качестве процентной ставки для дисконтирования денежных потоков принято использовать половину годовой процентной ставки.

    Размеры денежных потоков и требуемая доходность — аналитические данные, достаточные для вычисления цены облигации. Поскольку ценой облигации является приведенная стоимость денежных потоков, ее значение вычисляется путем сложения следующих двух величин:

    1. приведенной стоимости полугодовых купонных выплат;
    2. приведенной стоимости номинала в момент погашения.

    В общем случае формула подсчета цены выглядит следующим образом:

    (6)

    где:
    P — цена (в долларах);
    n — число периодов до погашения (число лет, умноженное на 2);
    C — полугодовая купонная выплата (в долларах);
    r — процентная ставка, соответствующая периоду (требуемая годовая доходность, деленная на 2);
    M — стоимость номинала;
    t — количество периодов, оставшихся до получения платежа.

    Полугодовые выплаты купона представляют собой обычный аннуитет, поэтому, используя формулу (5) для вычисления приведенной стоимости обычного аннуитета, получаем приведенную стоимость купонной выплаты, равную:

    Для того чтобы читатель понял, как на практике осуществляется вычисление цены облигации, рассмотрим 20-летнюю облигацию с купоном, равным 10%, и номинальной стоимостью $1000. Допустим, что требуемая доходность для этой облигации составляет 11%. Данная облигация приносит следующие денежные потоки:

    1. 40 полугодовых купонных выплат по $50 каждая;
    2. $1000 через 40 полугодовых периодов.

    Полугодовая (соответствующая периоду) процентная ставка (или соответствующая периоду требуемая доходность) равна 5,5% (11% поделить на 2).

    Приведенная стоимость 40 полугодовых купонных выплат по $50, дисконтированная по 5,5%, согласно результатам приведенных ниже вычислений, составляет $802,31:

    C = $50;
    n = 40;
    r = 0,055;
    PV = $50 ((1 — 1/1,055 40 ) / 0,055 = $50 х 16,04613 = $802,31.

    Приведенная стоимость номинала в $1000, который будет получен через 40 полугодовых периодов, дисконтированная по 5,5%, равна, как видно из расчетов, приведенных ниже, $117,46:

    Цена облигации, таким образом, равна сумме двух приведенных стоимостей:

    Предположим теперь, что требуемая доходность составляет не 11%, а 6,8%. Цена облигации в этом случае окажется равной $1347,04 (процесс вычисления значения цены описан ниже).

    Приведенная стоимость купонных выплат при соответствующей периоду процентной ставке 3,4 % (6,8 % / 2) равна:

    Приведенная стоимость номинала в $1000, который будет получен через 40 полугодовых периодов, дисконтированная по 3,4%, равна:

    $1000 / 1,034 40 = $262,53.

    Цена облигации, таким образом, составит:

    Если требуемая доходность равна купонной ставке 10%, цена облигации будет равна ее номинальной стоимости, т. е. $1000. Действительно, приведенная стоимость купонных выплат при соответствующей периоду процентной ставке 5 % (10 % / 2) равна:

    Приведенная стоимость номинала в $1000, который будет получен через 40 полугодовых периодов, дисконтированная по 5%, равна, согласно формуле:

    $1000 / 1,050 40 = $142,05.

    Цена облигации, таким образом, составит:

    Ценообразование облигаций с нулевым купоном

    Некоторые облигации не предполагают никаких периодических купонных выплат. Инвестор получает процентный доход за счет разницы между номинальной стоимостью и ценой покупки. Облигации этого типа носят название облигаций с нулевым купоном. Цена облигации с нулевым купоном вычисляется путем подстановки нуля вместо С в формулу (6):

    Формула (8) показывает, что цена облигации с нулевым купоном — это приведенная стоимость номинала. Заметим, однако, что при подсчетах такой приведенной стоимости число периодов, используемое для дисконтирования, равно не количеству лет до погашения облигации, а количеству лет, умноженному на 2. Дисконтная ставка в этом случае равна половине требуемой годовой доходности. Так, цена облигации с нулевым купоном и сроком до погашения 15 лет, номинал которой равен $1000, а требуемая доходность — 9,4%, составит $252,12:

    M = $1000;
    r = 0,0471;
    n = 30;
    P = $1000 / 1,047 30 = $252,12.

    Связь цены и доходности

    Одно из фундаментальных свойств облигации заключается в том, что цена всегда меняется в направлении, противоположном изменению требуемой доходности. Объяснение этому феномену следует искать в том факте, что цена облигации — это приведенная стоимость денежных потоков. Если требуемая доходность увеличивается, то приведенная стоимость денежных потоков падает; соответственно, падает и цена. И наоборот: падение требуемой доходности означает рост приведенной стоимости денежных потоков, а значит, и рост цены. Проверим справедливость этого утверждения на примере цены 20-летней 10%-ной облигации в случаях, когда требуемая доходность составляет 11%, 10% и 6,8%. В табл. 1 приводятся цены 20-летней облигации с 10%-ным купоном при разных требуемых доходностях.

    Таблица 1. Связь цены и доходности для 20-летней облигации с 10 %-ным купоном

    Изобразив связь цены и доходности любой облигации без встроенных опционов графически, мы обнаружим, что график имеет характерную изогнутую форму, показанную на рис. 1.

    Кривая такой формы носит название выпуклой. Выпуклость кривой цена / доходность имеет важное значение при оценке инвестиционных характеристик облигации. Также обратите внимание на цену на рис. 1 в том месте, где кривая пересекает вертикальную ось. Эта цена является максимумом для облигации и соответствует стоимости недисконтированных денежных потоков, т. е. она равна сумме всех купонных платежей и номинальной стоимости.

    Связь между купонной ставкой, требуемой доходностью и ценой

    Рыночным доходностям свойственно меняться; единственная переменная, которая меняется, чтобы соответствовать новой требуемой доходности, — это цена облигации. Если купонная ставка равна требуемой доходности, цена акции будет равна ее номиналу — мы показали это на примере 20-летней облигации с купонной ставкой 10%.

    Как только в какой-то момент времени рыночная доходность поднимается выше купонной ставки, цена облигации приспосабливается к новым условиям таким образом, чтобы инвестор, приобретающий облигацию, мог получить от покупки дополнительную выгоду. Если бы цена не менялась, инвесторы отказались бы от приобретения облигации, предлагающей доходность ниже рыночной. Таким образом, недостаток спроса приводит к падению цены и росту доходности облигации. Именно так происходит в реальности падение цены ниже уровня номинала.

    Прирост капитала, реализуемый путем удерживания облигации до даты погашения, — форма компенсации, предлагаемой инвестору, владеющему облигацией с купонной ставкой ниже требуемой доходности. Если облигация продается по цене, более низкой, чем ее номинальная стоимость, говорят, что облигация была продана с дисконтом. Из приведенных выше расчетов видно, что в ситуации, когда требуемая доходность превышает купонные ставки, цена облигации всегда ниже номинала ($1000).

    Если требуемая рыночная доходность меньше купонной ставки, облигация должна продаваться по цене более высокой, чем номинальная стоимость. Это происходит потому, что инвестор, приобрети он облигацию по номиналу, получил бы купонную ставку, превышающую справедливую рыночную доходность. В результате цена на облигацию со столь привлекательной доходностью пошла бы вверх. Цена может расти до тех пор, пока доходность облигации не совпадет с требуемой доходностью рынка. Про облигацию, цена которой превышает ее номинальную стоимость, говорят, что она продается с премией. Отношения между купонной ставкой, требуемой доходностью и ценой в общем виде можно записать следующим образом:

    Купонная ставка цена цена = номинал Купонная ставка > требуемая доходность цена > номинал (облигация с торгуется премией).

    Связь между ценой облигации и временем при неизменных процентных ставках

    Что происходит с ценой облигации, если в течение периода между приобретением облигации и датой погашения требуемая доходность не меняется? Для облигации, продающейся по номиналу, купонная ставка равна требуемой доходности. Дата погашения будет приближаться, но облигация по-прежнему будет продаваться по номинальной стоимости. Ее цена по мере приближения к дате погашения не изменится.

    Читайте также:  Банк открытие фонды облигаций

    Цена облигации не останется прежней в случае, если облигация продается с дисконтом или с премией. В табл. 2.2 приведены данные о временном движении цены 20-летней облигации с купонной ставкой 10%, продающейся с дисконтом, а также данные о той же самой облигации, продающейся с премией. Заметим, что цена облигации, продающейся с дисконтом, при условии неизменной требуемой доходности растет. Обратный процесс происходит с ценой облигации, продающейся с премией. Цена обеих облигаций в момент погашения равняется номинальной стоимости.

    Причины изменения цены облигации

    Изменение цены облигации можно объяснить одной или несколькими из приведенных ниже причин:

    1. Наблюдается изменение требуемой доходности, связанное с изменением кредитного качества эмитента.
    2. Цена облигации, продающейся с премией или с дисконтом, меняется не под влиянием требуемой доходности, остающейся неизменной, а растет или падает по мере приближения даты погашения.
    3. Наблюдается изменение требуемой доходности, связанное с изменением доходности сравнимых облигаций (т. е. изменение доходности, требуемое рынком).

    Причины 2 и 3 подробно описаны в этой статье. Умение предсказать изменение кредитного качества эмитента (причина 1) до того, как это изменение будет признано рынком, — одна из важных составляющих успешного управления инвестициями.

    Сложности при определении цены облигации

    Описывая ценообразование облигаций, мы исходили из предположений о том, что:

    1. следующая выплата купона состоится ровно через шесть месяцев;
    2. денежные потоки известны;
    3. соответствующая требуемая доходность может быть определена;
    4. все денежные потоки дисконтируются по одной ставке.

    Рассмотрим каждое из приведенных положений применительно к реальной практике.

    Таблица 2. Данные о временном движении цены на 20-летнюю облигацию с купонной ставкой 10%, продающуюся с дисконтом и с премией

    Следующая выплата купона состоится раньше, чем через шесть месяцев

    Если инвестор приобретает облигацию, купонная выплата по которой должна состояться раньше чем через полгода, цена облигации может быть вычислена следующим образом:

    (9)

    ν = количество дней между днем сделки и днем выплаты купона / количество дней в шестимесячном периоде

    Обратите внимание на то, что при ν = 1 (т. е. в случае, когда следующая выплата купона состоится ровно через шесть месяцев) формула (9) сводится к формуле (6).

    Денежные потоки могут быть неизвестны

    Для облигаций без встроенных опционов при отсутствии дефолтов денежные потоки известны. Между тем для большинства облигаций размер денежных потоков не может быть установлен с точностью. Причина — возможность отзыва облигаций эмитентом до наступления даты погашения. Для облигаций с правом досрочного погашения денежный поток в первую очередь зависит от уровня текущих процентных ставок в сравнении с величиной купонной ставки. Так, эмитент, скорее всего, воспользуется своим правом на досрочное погашение облигаций, если процентные ставки упадут существенно ниже купонных, и ему будет выгоднее выкупить облигационный выпуск, не дожидаясь даты погашения, а затем выпустить новые облигации с более низкой купонной ставкой. (Другой пример — ценные бумаги, обеспеченные жилищными ипотеками; индивидуальный заемщик имеет право досрочного погашения всех ипотечных обязательств или их части вне установленного графика.) Таким образом, денежные потоки облигаций, которые могут быть выкуплены до даты погашения, зависят от текущих рыночных процентных ставок.

    Выяснение соответствующей требуемой доходности

    Для всех требуемых доходностей эталоном являются доходности, предлагаемые казначейскими ценными бумагами. Аналитический принцип, которым мы руководствуемся в книге, — разложение требуемой доходности облигации на составляющие, описание которых читатель найдет в следующих главах.

    Одна дисконтная ставка для всех денежных потоков

    Анализируя ценообразование облигаций, мы до сих пор исходили из предположения о том, что все денежные потоки дисконтируются с помощью одной дисконтной ставки. Любая облигация может рассматриваться как пакет облигаций с нулевым купоном, причем в каждом случае для определения приведенной стоимости конкретного денежного потока должна использоваться своя дисконтная ставка.

    Ценообразование облигаций с плавающей купонной ставкой и облигаций с обратной плавающей купонной ставкой

    Ни для ценной бумаги с плавающей ставкой, ни для ценной бумаги с обратной плавающей ставкой денежный поток заранее неизвестен: он зависит от поведения референсной ставки в будущем.

    Цена облигации с плавающей ставкой

    Купонная ставка ценной бумаги с плавающей ставкой равна сумме референсной ставки и некоторого спреда или маржи. Купонная ставка облигации с плавающей ставкой может быть получена, например, сложением ставки трехмесячного казначейского векселя (референсная ставка) и 50 базисных пунктов (спред). Цена облигации с плавающей ставкой определяется двумя факторами: 1) величиной спреда и 2) ограничениями, которые могут быть наложены на перерасчет купона. Так, облигация с плавающей купонной ставкой может иметь максимальную купонную ставку, называемую кэпом (cap), или минимальную купонную ставку, называемую флором (floor). Цена облигации с плавающей ставкой будет приближаться к номинальной стоимости, если: 1) справедливый рыночный спред остается неизменным и 2) не достигается ни кэп, ни флор 1 .

    Если требуемый рыночный спред будет увеличиваться (уменьшаться), цена облигации будет опускаться ниже (подниматься выше) номинала. Если купонная ставка не будет равна сумме референсной ставки и спреда из-за ограничений, накладываемых кэпом, облигация с плавающей ставкой будет торговаться по цене более низкой, чем номинал.

    Ценообразование облигации с обратной плавающей купонной ставкой

    Как правило, облигация с обратной плавающей ставкой создается на основе ценной бумаги с фиксированной ставкой 2 . Ценная бумага, с помощью которой создается облигация с обратной плавающей ставкой, носит название обеспечения. На основе обеспечения создаются две облигации: одна — с обычной плавающей купонной ставкой, другая — с обратной плавающей купонной ставкой. Процесс образования таких облигаций представлен на схеме (рис. 2).

    Рис. 2. Образование облигации с обратной плавающей ставкой

    Две облигации создаются таким образом, что: 1) общая купонная выплата по обеим облигациям в каждый из периодов меньше или равна купонной выплате обеспечения в тот же период и 2) общая номинальная стоимость двух облигаций меньше или равна номинальной стоимости обеспечения. Облигация с плавающей ставкой и облигация с обратной плавающей ставкой должны быть структурированы таким образом, чтобы денежный поток, поступающий от обеспечения, был достаточен для удовлетворения обязательств по обеим ценным бумагам.

    Рассмотрим 10-летнюю облигацию с купоном, выплачиваемым раз в полгода и равным 7,5%. Допустим, что такие облигации в объеме $100 млн используются в качестве обеспечения для создания облигации с плавающей ставкой номинальной стоимостью $50 млн и облигации с обратной плавающей ставкой номинальной стоимостью $50 млн. Предположим, что купон пересчитывается каждые шесть месяцев в соответствии со следующей формулой:

    купон облигации с плавающей ставкой = референсная ставка + 1%;
    купон облигации с обратной плавающей ставкой = 14% — референсная ставка.

    Напомним, что общая номинальная стоимость облигаций с обычной плавающей и обратной плавающей ставками равна номиналу обеспечения, т. е. $100 млн. Взвешенное среднее купонной ставки комбинации обеих облигаций равно:

    0,5 x (референсная ставка + 1%) + 0,5 x (14% — референсная ставка) = 7,5%.

    Итак, независимо от размера референсной ставки, комбинированная купонная ставка для двух облигаций равна купону обеспечения, т. е. 7,5%.

    Приведенная формула страдает одним недостатком. Предположим, что референсная ставка превышает 14%. В этом случае результат, полученный при подсчете купона облигации с обратной плавающей ставкой, будет отрицательным числом. Чтобы этого не произошло, для купона ставки облигации с обратной плавающей ставкой устанавливают флор. Как правило, за флор принимается ноль. Существование флора приводит к необходимости ограничения купона облигации с обычной плавающей ставкой, поскольку купонные выплаты по обеим облигациям не должны превышать процентные выплаты обеспечения. В нашей гипотетической структуре максимальной процентной ставкой облигации с плавающей ставкой может быть 15%. Таким образом, при создании на основе обеспечения облигаций с плавающей и обратной плавающей ставками, для одной из них (облигации с обратной плавающей ставкой) устанавливается флор, а для другой (с обычной плавающей ставкой) — кэп.

    Влияние кэпа и флора на ценообразование облигации пока нами не рассматривается. Для нас важно, что цена облигации с обратной плавающей ставкой определяется исходя из цены обеспечения и цены облигации с плавающей ставкой. Процесс можно записать в виде следующей формулы:

    цена обеспечения = цена облигации с плавающей ставкой + цена облигации с обратной плавающей ставкой,

    а значит: цена облигации с обратной плавающей ставкой = цена обеспечения — цена облигации с плавающей ставкой.

    Заметим, что референсная ставка влияет на цену облигации с обратной плавающей ставкой постольку, поскольку она ограничивает процентную ставку облигации с плавающей ставкой. Этот вывод чрезвычайно важен для нас. Некоторые инвесторы ошибочно полагают, что при росте купонной ставки цена облигации с обратной плавающей ставкой будет расти, если референсная ставка падает. Это неверно. Для ценообразования облигации с обратной плавающей ставкой существенно влияние процентных ставок на цену обеспечения. Референсная ставка имеет значение только в качестве фактора, ограничивающего купон облигации с плавающей ставкой.

    Обозначение (котировка) цены и накопленный купонный доход

    Обозначение цены

    В этой главе мы выбрали в качестве образца для анализа облигацию с номиналом, равным $1000. Очевидно, что облигация может иметь номинал более высокий или более низкий, нежели $1000. Соответственно, обозначая цену, трейдеры котируют ее как процент от номинала.

    Облигация, продающаяся по номиналу, котируется по 100, т. е. цена составляет 100% номинальной стоимости. Облигация, торгующаяся с дисконтом, будет продаваться меньше чем по 100; облигация, которая торгуется с премией, будет продаваться больше, чем по 100. В табл. 3 показано, каким образом котировка цены может быть переведена в цену в долларах.

    1 В промежутке между датами перерасчета купона облигация с плавающей ставкой может торговаться ниже или выше номинала.

    2 Облигация с обратной плавающей ставкой может также создаваться на основе свопа процентных ставок, в этом случае отпадает нужда в создании облигации с обычной плавающей ставкой.

    © Интернет-проект «Корпоративный менеджмент», 1998–2021

    Источник