Меню

Надя складывала в коробочку только двухрублевые монеты однажды ира взяла из коробочки ответ



«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия Издательство МЦНМО АО «Московские учебники» Москва ББК . »

3. Приведите пример события, вероятность которого равна нулю, в случайном эксперименте с бросанием двух игральных костей. Вспомните, как называется такое событие.

Найдите вероятность события:

а) «стрелок выбил меньше 5 очков»;

б) «стрелок выбил больше 7 очков»;

в) «стрелок попал в желтую зону мишени»;

г) «стрелок попал в зеленую зону мишени»;

д) «стрелок не попал в голубую зону мишени»;

е) «стрелок попал в красную зону и при этом выбил больше 3 очков».

4. В некотором опыте возможно три элементарных события a, b и c. Вероятность того, что наступит либо b, либо c, равна 0,83. Найдите вероятность элементарного события a.

5*. В некотором опыте возможно три элементарных события a, b и c. Вероятность того, что наступит либо a, либо b, равна 0,4, вероятность того, что наступит либо a, либо c, равна 0,7. Найдите вероятность каждого из элементарных событий.

6*. Иван Иванович отправился охотиться на медведей и зайцев и оценивает свои перспективы следующим образом:

— Один шанс из четырех за то, что попадется только заяц; один к десяти за то, что подстрелю только медведя; один к сорока — что будет и медведь, и заяц.

Найдите вероятность того, что не видать Ивану Ивановичу в качестве охотничьего трофея:

а) ни одного зайца; б) ни одного медведя; в) ни медведя, ни зайца.

Пусть все элементарные события опыта равновозможны. Тогда в этом опыте вероятность произвольного события равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных событий.

Пример 1. Игральную кость бросают два раза.

Найдем вероятность события A «сумма очков меньше 6». Для этого воспользуемся таблицей элементарных событий этого эксперимента.

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету.

Найдем вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Обозначим выпадение орла буквой О, а решки — буквой Р и выпишем все элементарные события:

Всего элементарных событий четыре. Так как монета симметричная, эти события равновозможны. Из них ровно два события ОО и РР благоприятствуют указанному событию. Вероятность получить оба раза одну сторону равна 2 = 1.

Мы узнали, как найти вероятности событий в опыте, в котором элементарные события равновозможны.

1. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события:

а) «выпало четное число очков»;

б) «выпало число очков, кратное трем»;

в) «выпало число очков, большее 3»;

г) «выпало число очков, кратное 7».

2. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события:

а) «выпавшее число очков является делителем числа 12»;

б) «выпавшее число очков кратно 5»;

в) «выпавшее число очков является простым числом».

3. Бросают симметричную монету 2 раза. Равные ли вероятности имеют события «два раза выпал орел» и «один раз выпал орел, а другой — решка»?

Найдите вероятности этих событий.

4. Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события:

а) «сумма очков на обеих костях равна 7»;

б) «сумма очков на обеих костях равна 11»;

в) «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой»;

г) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2»;

д) «произведение очков на обеих костях равно 10»;

е) «сумма очков на обеих костях делится на 3».

5. Пятачок идет из своего дома к дому Винни-Пуха, а Винни-Пух идет из своего дома к дому Пятачка. Каждый из них может выбрать наугад любую из дорожек. Найдите вероятность встречи для каждого случая (рис. 10).

6. В коробке лежат 24 одинаковые авторучки. Из них 13 красных, 5 зеленых, остальные — синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий:

а) «извлеченная ручка красная»;

б) «извлеченная ручка не зеленая»;

в) «извлеченная ручка либо синяя, либо зеленая»;

г) «извлеченная ручка либо красная, либо синяя».

7. В ящике лежат 20 синих и 16 красных карандашей. Продавец, не глядя, вынимает один карандаш. Найдите вероятность того, что этот карандаш

а) синим; б) красным.

8. Миша покупает альбом (A), блокнот (Б) и тетрадь (Т). Продавец достает товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что:

а) сначала продавец достанет блокнот;

б) продавец достанет альбом в последнюю очередь;

в) продавец сначала достанет тетрадь, а последнюю очередь — блокнот;

г) альбом будет извлечен раньше, чем тетрадь.

cyan с. 109magenta с. 109yellow с. 109black с. 109 Глава VI. Математическое описание случайных явлений

9. На клавиатуре компьютера 105 клавиш. Найдите вероятность того, что обезьяна, нажав клавишу случайным образом, напечатает букву «A».

10. На день рожденья к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками.

11. Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали (рис. 11). Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле:

а) h1; б) a5; в) с4; г) d7; д) d5; e) g3.

a b c d e f g h

12. У Лены есть 4 книги писательницы Гонцовой: «Очки для крота», «Шило в мешке», «Квадратное колесо» и «Полосатый огурец». Оля не знает, какие книги есть у Лены, но решила подарить Лене еще одну или две книги Гонцовой. В магазине оказались книги «Шило в мешке», «Вагончик тронется», «Акула в аквариуме» и «Квадратное колесо». Найдите вероятность того, что у Лены окажется хотя бы две одинаковые книжки, если Оля выбрала случайным образом:

а) одну книжку; б) две разные книжки.

13. По правилам игры «Морской бой» на поле 10 10 клеток размещаются четыре однопалубных корабля (по одной клетке), три двухпалубных, два трехпалубных и один четырехпалубный (рис. 12).

а) Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в какой-нибудь из кораблей противника.

б) Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в четырехпалубный корабль.

в) Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в однопалубный корабль.

абвгдежзик абвгдежзик Рис. 12 Рис. 13 14*. При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сообщил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероятность того, что вы попали

а) в четырехпалубный корабль; б) в трехпалубный; в) в двухпалубный?

15*. На рис. 13 показано положение в игре «Морской бой». Красным цветом показаны потопленные корабли противника. У противника остался только один двухпалубный корабль, положение которого неизвестно. Клетки, в которых нарисованы точки, — это клетки, по которым мы уже стреляли. В них не может быть корабля. Считая равновозможными любые допустимые положения последнего корабля, найдите вероятность того, что вы попадете в него, выстрелив в поле:

а) к4; б) з1; в) к1; г) е7; д) е8.

В какое поле нужно выстрелить, чтобы вероятность подбить последний корабль была наибольшей?

16*. Надя складывала в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Ира взяла из коробочки несколько монет, заменив их монетами по одному рублю так, что общая денежная сумма осталась прежней. После замены вероятность наудачу вытащить двухрублевую монету оказалась в 3 раза больше вероятности вытащить рублевую. Какую часть двухрублевых монет взяла Ира?

cyan с. 111magenta с. 111yellow с. 111black с. 111 Глава VI. Математическое описание случайных явлений 17*. В городе N пять улиц. При этом две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток.

Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два постовых случайным образом встали на два разных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.

18*. Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок просил прохожего взять два любые конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних угла, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных угла, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего и вероятность выигрыша игрока.

19*. Красная Шапочка идет от домика мамы к домику бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке 14. Дорожки Красная Шапочка выбирает наудачу. На двух дорожках девочку поджидают Волки. Найдите вероятность того, что Красная

Шапочка на своем пути:

а) встретит ровно одного Волка;

б) встретит двух Волков;

в) не встретит ни одного Волка;

г) встретит хотя бы одного Волка.

Мама Бабушка Рис. 14 cyan с. 112magenta с. 112yellow с. 112black с. 112 Глава VII. Вероятности случайных событий.

Сложение и умножение вероятностей Мы обсуждаем случайные опыты. Напомним, что случайный опыт оканчивается каким-либо одним элементарным событием. Какое именно элементарное событие наступит в данном опыте — дело случая. Два разных элементарных события одновременно произойти не могут.

В случайных опытах мы можем рассматривать самые разные события, не только элементарные. Случайное событие или просто событие — это некоторое множество (набор, совокупность) элементарных событий.

Можно сказать, что всякое случайное событие A состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию A.

Случайное событие A наступает, когда происходит какое-либо элементарное событие, благоприятствующее событию A. Если ни одно из благоприятствующих событий не произошло, то не произошло и событие A.

Случайные события можно различным способом сочетать друг с другом.

При этом образуются новые случайные события. Мы обсудим три наиболее употребительных действия с событиями. К ним часто приходится обращаться при вычислении вероятностей.

32. Противоположное событие. Диаграммы Эйлера Рассмотрим какое-либо событие A. Как и всякому событию, ему благоприятствуют некоторые элементарные события. Рассмотрим теперь все прочие элементарные события этого опыта, т. е. те, которые не благоприятствуют событию A. Соберем эти элементарные события вместе. Так мы получим новое событие.

Оно состоит из тех элементарных событий, которые не благоприятствуют событию A. Это событие называется событием, противоположным событию A.

Событием, противоположным событию A, называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию A.

Событие, противоположное событию A, обозначают A.

Если событие B противоположно событию A, т. е. B = A, то событие A противоположно событию B: A = B. Поэтому события A и A называют взаимно противоположными или дополнениями друг для друга.

cyan с. 113magenta с. 113yellow с. 113black с. 113 Глава VII. Вероятности случайных событий Пример 1. Бросают игральную кость. Рассмотрим событие A «выпало число, большее 4». Этому событию благоприятствуют элементарные события «выпала пятерка» и «выпала шестерка».

Не благоприятствуют событию A следующие элементарные события: «выпала единица», «выпала двойка», «выпала тройка», «выпала четверка» (рис. 1). Для события A противоположным событием A является событие «выпало число, меньшее или равное четырем».

Рис. 1 Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому P(A) + P(A) = 1.

Иными словами, сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице.

Следовательно, P(A) = 1 P(A) и P(A) = 1 P(A).

Из этих формул следует, что для вычисления P(A) достаточно знать P(A).

Это свойство во многих случаях оказывается полезным.

Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадет разное (не одинаковое) число очков?

Решение. Обозначим описанное событие A. Противоположным событием является событие A, состоящее в том, что на обеих костях выпало одинаковое число очков. Событию A благоприятствуют шесть элементарных событий:

(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).

Вероятность каждого из этих элементарных событий, как мы знаем, равна 1. Следовательно, 36 P(A) = 6 = 1.

Соотношения и связи между событиями можно изобразить с помощью схематических рисунков. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера.

Пусть прямоугольник изображает все элементарные события. Событие A изобразим в виде круга внутри прямоугольника. В этом случае оставшаяся часть прямоугольника изображает событие A, противоположное событию A.

На рис. 2 с помощью диаграмм Эйлера изображены два события: событие A и противоположное событие A.

В этом пункте говорилось о том, что такое противоположные события. Еще мы узнали о том, как можно изображать события с помощью диаграмм Эйлера.

2. В некотором случайном опыте может произойти событие K. Найдите вероятность события K, если вероятность события K равна:

а) 0,4; б) 0,85; в) 0,13; г) 1 ; д) p. Какие значения может принимать p?

е)* P(C) = a + b 2 ; P(D) = 2ab, где a 0, b 0.

5. Бросают одну игральную кость. Событие A состоит в том, что:

а) выпала шестерка;

б) выпало четное число очков;

в) выпало число очков, кратное трем.

Для каждого случая перечислите элементарные события, благоприятствующие событию A, опишите событие A словами и найдите P(A).

Читайте также:  Сколько стоят монеты 1999 года стоимость

6. Бросают две игральные кости. Событие A состоит в том, что в сумме на них выпало:

а) 2 очка; б) 12 очков; в) менее 4 очков; г) более 10 очков.

Для каждого случая опишите событие A словами и найдите P(A).

7. В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Из класса случайным образом выбирают одного ученика. Событие D — «выбрана девочка».

а) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию D?

б) Чему равна вероятность события D?

в) Опишите словами событие D.

г) Чему равна вероятность P(D)?

8. Симметричную монету бросили 4 раза. Орел при этом может выпасть 1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий представлены в таблице:

Найдите вероятность события, противоположного событию:

а) «орел не выпал ни разу»;

б) «орел выпал более одного раза»;

в) «решка выпала менее трех раз»;

г) «орел выпал неизвестно сколько раз, но точно не 2 раза».

9*. Из класса выбирают двух учеников. Опишите словами событие B, если событие B состоит в том, что:

а) оба выбранных ученика — мальчики;

б) выбраны ученики одного пола.

10*. В люстре пять новых лампочек. Событие A состоит в том, что в течение года:

а) перегорит хотя бы одна из них;

б) перегорит ровно две лампочки;

в) перегорит более трех лампочек;

г) перегорит меньше четырех лампочек.

Для каждого из этих событий опишите словами событие A.

11*. На диаграмме Эйлера (рис. 3) изображены события A и B. Нарисуйте диаграмму в тетради и выделите на ней событие D, которое состоит в том, что:

а) событие A наступило, а B — нет;

б) событие B наступило, а A — нет;

в) наступило событие A;

г) наступило событие B.

33. Объединение событий Пусть A и B — два события, относящиеся к одному случайному опыту. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию A, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию B. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию. Это новое событие называют объединением событий A и B. Его обозначают A B.

Событие A B наступает, если наступает хотя бы одно из событий A и B. Это означает, что наступает либо A, либо B, либо A и B вместе.

Пример 1. Продавщица выбирает два костюма, для того чтобы поместить их в витрину магазина.

В ассортименте есть черные (Ч) и синие (С) костюмы. Элементарные события этого случайного опыта представляют собой пары костюмов, которые мы можем условно обозначить парами букв, указывающих цвета выбранных костюмов:

Пусть, например, событие A состоит в том, что первый костюм черного цвета.

Этому событию благоприятствуют элементарные события ЧС и ЧЧ.

Событие B наступает, если второй костюм черного цвета; ему благоприятствуют элементарные события СЧ и ЧЧ.

Объединению событий A B в этом случае благоприятствуют элементарные события, благоприятствующие хотя бы одному из двух событий A и B, т. е.

элементарные события ЧС, ЧЧ и СЧ.

Событие A B состоит в том, что хотя бы один из костюмов черного цвета.

Формулировка объединения двух событий часто включает в себя слова «хотя бы».

Пример 2. Игральную кость бросают дважды.

Событие A состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие B состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.

Тогда событие A B заключается в том, что либо в первый раз выпало больше, чем во второй, либо во второй раз больше, чем в первый. Иными словами,

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 2; 1 Элементарные события, благоприятствующие событию A 3; 5 Элементарные события, благоприятствующие событию B событие A B наступает, если при двух бросаниях кости выпали не равные числа очков. В известной нам таблице элементарных событий такого эксперимента событию A B благоприятствуют все элементарные события, кроме элементарных событий, стоящих на диагонали. На рисунке благоприятствующие элементарные события выделены.

На диаграмме Эйлера (рис. 4) показаны события A, B и их объединение A B. Левый круг изображает событие A, правый круг — событие B, а выделенная фигура, включающая в себя оба круга, — это событие A B.

2. Событию U в ходе некоторого опыта благоприятствуют 5 элементарных событий. Событию V благоприятствуют 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий ни одно не благоприятствует событию U. Сколько элементарных событий благоприятствует событию U V ?

3. Событию A благоприятствуют 6 элементарных событий, а событию B — 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий 4 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.

а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию A, но не благоприятствует событию B?

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию B, но не благоприятствует событию A?

в) Сколько элементарных событий благоприятствует событию A B?

4. Монету бросают дважды. Событие A — «первый раз выпал орел». Событие B — «второй раз выпал орел». Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из этих событий и событию A B.

5. Монету бросают дважды. Представьте в виде объединения двух событий событие:

а) «хотя бы один раз выпала решка»;

б) «оба раза выпала одна и та же сторона монеты».

6. На диаграмме Эйлера (рис. 6) изображены события A и B. Нарисуйте диаграмму в тетради и укажите на ней событие C, которое состоит в том, что:

а) событие A наступило, а B — нет;

б) событие B наступило, а A — нет;

в) наступило хотя бы одно из событий A и B;

г) не наступило ни одно из событий A и B;

д) наступили оба события.

Какое из событий пунктов а)—д) является событием A B? Какое из событий пунктов а)—д) является событием A B?

7. Бросают одну игральную кость. Событие A — «выпало четное число очков». Событие B состоит в том, что:

а) выпало число очков, кратное 3;

б) выпало нечетное число очков;

в) выпало число очков, кратное 4;

г) выпало число очков, кратное 5.

Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию A B.

8. На диаграмме Эйлера (рис. 7) изображены события A и B. В кругах, изображающих эти события, написано число благоприятствующих каждому событию элементарных событий. Всего в опыте 60 различных элементарных событий.

а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию B?

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию A?

в)* Сколько элементарных событий благоприятствует событию A B?

г)* Сколько элементарных событий благоприятствует событию A B?

34. Пересечение событий Возьмем два события A и B. Предположим, что есть элементарные события, благоприятствующие и событию A, и событию B. Взяв все элементарные события, которые благоприятствуют и событию A, и событию B, мы получим новое событие. Это новое событие называют пересечением событий A и B.

Его обозначают A B.

Событие A B наступает, если наступают оба события A и B.

Если события A и B не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными, а их пересечение — пустое событие. Оно обозначается символом. Можно написать A B =.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0: P(A B) = = P() = 0.

Пример 1. Вернемся к продавщице, выбирающей два костюма для витрины.

Напомним все элементарные события этого опыта:

Пусть событие A, как и прежде, состоит в том, что первый костюм черного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события ЧС и ЧЧ.

Событие B «второй костюм черного цвета» наступает при элементарных событиях СЧ и ЧЧ.

Пересечению событий A B благоприятствует единственное элементарное событие ЧЧ.

Событие A B состоит в том, что оба костюма черного цвета.

Пример 2. События «8 марта приходится на пятницу» и «8 марта приходится на субботу» являются несовместными в одном и том же году.

Пример 3. Бросают две игральные кости.

Событие A — на первой кости выпало меньше 3 очков. Событие B — на второй кости выпало меньше 3 очков.

Тогда событие A B заключается в том, что на каждой кости выпало меньше 3 очков (таблица элементарных событий приведена на следующей странице).

Событие A B можно изобразить на диаграмме Эйлера. Чтобы изобразить это событие, нужно заштриховать общую часть фигур, изображающих события A и B (рис. 9).

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Рис. 9 Добавив еще круги, можно заштриховать фигуру, изображающую пересечение трех или более событий.

Этот пункт посвящен рассказу о том, что такое пересечение событий и как его изобразить на диаграмме Эйлера.

1. Бросают одну игральную кость. Событие A — «выпало четное число очков». Событие B заключается в том, что:

а) выпало число очков, кратное 3;

б) выпало число очков, кратное 4;

в) выпало число очков, большее 4;

г) выпало число очков, меньшее 3.

Для каждого случая выпишите элементарные события, составляющие событие A B, и найдите P(A B).

2. Бросают две игральные кости. Событие A — «на первой кости выпало меньше 3 очков». Событие B — «на второй кости выпало больше 4 очков».

а) Пользуясь таблицей элементарных событий этого опыта, выделите цветом все элементарные события, благоприятствующие событиям A, B и A B.

б) Опишите словами событие A B. в) Найдите P(A B).

3. Из класса случайным образом последовательно выбирают двух учеников.

Событие D — «первый выбранный ученик — девочка». Событие C — «второй выбранный ученик — девочка». Опишите словами события D C и D C.

4. Из класса случайным образом последовательно выбирают двух учеников.

Событие A — «первый выбранный ученик — девочка». Событие B — «среди выбранных учеников есть только одна девочка». Опишите словами объединение и пересечение этих событий.

5. Из класса случайным образом последовательно выбирают двух учеников.

Событие A — «первый выбранный ученик — девочка». Событие C — «второй выбранный ученик — мальчик». Опишите словами объединение и пересечение этих событий.

6. Событие C — «по дороге из школы домой вам встретится черная кошка».

Событие D — «по дороге из школы домой вам встретится злая собака». Опишите словами объединение и пересечение этих событий.

7. Событие M — «вас завтра вызовут к доске на уроке математики». Событие G — «вас завтра вызовут к доске на уроке географии». Опишите словами объединение и пересечение этих событий.

8. В ходе некоторого опыта событию A благоприятствуют 6 элементарных событий, событию B — 8 элементарных событий. При этом 2 элементарных события благоприятствуют событию A B. Сколько элементарных событий благоприятствует событию:

а) «событие A наступает, а B — нет»; б) «событие B наступает, а A — нет».

Нарисуйте диаграмму Эйлера, на которой в каждой из образовавшихся фигур укажите число элементарных событий, благоприятствующих соответствующему событию.

cyan с. 125magenta с. 125yellow с. 125black с. 125 Глава VII. Вероятности случайных событий Пользуясь рисунком, ответьте на вопрос: сколько элементарных событий благоприятствует событию A B?

9. В ходе некоторого опыта событию A благоприятствуют 6 элементарных событий, событию B — 8 элементарных событий. 10 элементарных событий благоприятствуют событию A B. Сколько элементарных событий благоприятствует событию:

а) «событие A наступает, а B — нет»; б) «событие B наступает, а A — нет»;

Нарисуйте диаграмму Эйлера, на которой в каждой из образовавшихся фигур укажите число элементарных событий, благоприятствующих соответствующему событию.

Пользуясь рисунком, ответьте на вопрос: сколько элементарных событий благоприятствует событию A B?

10. Запишите формулой событие, изображенное на диаграмме Эйлера (рис. 10).

35. Несовместные события. Правило сложения вероятностей Мы знаем, что если события A и B не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события мы назвали несовместными. Напомним, что в этом случае говорят, что вероятность одновременного наступления событий A и B равна 0, и пишут P(A B) = 0.

Пример. Игральную кость бросают дважды. Событие A состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие B состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый. Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие каждому из этих событий.

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 2; 1 Элементарные события, благоприятствующие событию A 3; 5 Элементарные события, благоприятствующие событию B

Общих элементарных событий у событий A и B нет. Это легко объяснимо:

не может случиться так, что в первый раз выпало больше, чем во второй, и в то же время во второй раз выпало больше, чем в первый. События A и B в этом опыте несовместны.

Важным свойством несовместных событий является то, что для них справедливо правило сложения вероятностей.

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В частности, возвращаясь к примеру с костями, видим, что

Тогда вероятность события A B равна + 5 = 5.

Подчеркнем, что формула P(A B) = P(A) + P(B) верна только для несовместных событий.

Несовместные события изображаются на диаграмме Эйлера с помощью двух непересекающихся фигур (рис. 12).

Читайте также:  Монета павел 1 1796 как определить подделку

Здесь сказано, что несовместные события — это те события, которые не могут наступить в одном и том же опыте. Кроме того, теперь мы знаем формулу вероятности объединения несовместных событий.

5*. Являются ли события C и D противоположными, если они несовместны и:

а) P(C) = 0,6, P(D) = 0,3; б) P(C D) = 0,75; в) P(C) = 0,2, P(D) = 0,8;

8*. Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите, что несовместны события A B, A B и A B.

9*. Пользуясь результатами заданий 7 и 8, докажите, что:

а) P(A B) = P(A) + P(A B);

б) P(A B) = P(A B) + P(A B) + P(A B).

36. Формула сложения вероятностей Если события A и B не являются несовместными, т. е. могут оба наступить в результате опыта, то к ним нельзя применить формулу P(A B) = P(A) + P(B).

Пример. Бросают две правильные игральные кости. Событие A — «на первой кости выпало меньше 3 очков». Событие B — «на второй кости выпало меньше 3 очков».

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Событию A благоприятствуют 12 элементарных событий. Событию B тоже благоприятствуют 12 элементарных событий. Событию AB благоприятствуют 20 элементарных событий.

Поэтому P(A) = 12, P(B) = 12, P(A B) = 20

Воспользуемся диаграммой Эйлера и изобразим два события A и B, у которых есть общие благоприятствующие элементарные события (рис. 13). Такие события не являются несовместными.

1. Опишите словами правило сложения вероятностей для произвольных событий и напишите формулу.

2. Справедлива ли формула P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) для несовместных событий?

1. Вычислите P(A B), если:

а) P(A) = 0,8, P(B) = 0,6, P(A B) = 0,4;

б) P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(A B) = 0,3.

2. Вычислите вероятность пересечения событий A и B, если:

а) P(A) = 0,8, P(B) = 0,6, P(A B) = 0,9;

б) P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(A B) = 0,8.

3. Могут ли события C и D быть такими, что P(C) = 0,6, P(D) = 0,7 и P(C D) = 0,1?

4. Известно, что P(A) = 0,4, P(B) = 0,8 и P(A B) = 0,2. Докажите, что событие A B является достоверным.

5. Вероятность того, что по дороге из школы домой вы встретите черную кошку, равна 0,1. Вероятность того, что по дороге из школы домой вы встретите злую собаку, равна 0,4. Вероятность того, что вам встретятся и черная кошка, и злая собака, равна 0,04.

а) Найдите вероятность того, что вам встретится хотя бы одно из этих животных.

б) Найдите вероятность того, что вы не встретите ни черную кошку, ни злую собаку.

6. Вероятность того, что вас вызовут завтра к доске на первом уроке, равна 0,1. Вероятность того, что завтра вас вызовут к доске на втором уроке, равна 0,3. Вероятность того, что вас вызовут завтра и на первом, и на втором уроках, равна 0,03. Найдите вероятность того, что вас завтра:

а) вызовут хотя бы на одном из двух первых уроков;

б) не вызовут ни на одном из двух первых уроков.

7*. Пользуясь диаграммой Эйлера для событий A, B и C, докажите формулу сложения вероятностей для трех событий:

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C).

cyan с. 132magenta с. 132yellow с. 132black с. 132 37. Случайный выбор

37. Случайный выбор В задачах предыдущего пункта мы все время имели дело со случайным выбором одного предмета из нескольких. Например, в коробке пять карандашей разных цветов. Не заглядывая в коробку, возьмем первый попавшийся карандаш. Это будет выбор наудачу. Выбор наудачу означает выбор без каких-либо предпочтений. Выбор наудачу входит как часть во многие игры: наудачу выбирают бочонок с номером при игре в лото; наудачу выбирают карты во многих карточных играх; в лотереях наудачу выбирают номера выигрышных билетов и т. д.

В социологических опросах выбор наудачу используется для формирования группы опрашиваемых людей. При контроле качества выпускаемой продукции также используется выбор наудачу, чтобы сократить затраты контроля.

Выбор наудачу называют также случайным выбором.

Определение. Случайный выбор одного предмета из группы — это выбор, при котором все предметы имеют равные шансы быть выбранными.

Если группа — это упомянутые 5 карандашей, то каждый карандаш может быть выбран с вероятностью 1. Если в группе N предметов, то при случайном выборе каждый из них может быть выбранным с вероятностью 1.

N Выбор наудачу мы рассматриваем как разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из группы.

После выбора наудачу одного предмета случайный выбор можно продолжить: из оставшихся предметов выбрать еще один. Затем из оставшихся предметов случайно выбрать третий и т. д. Собранную таким способом группу называют случайной выборкой. Численность выборки обычно назначают заранее.

Случайную выборку можно получить иначе: сразу выбрать наудачу из общей совокупности нужное число предметов. Два карандаша из пяти можно выбирать наудачу один за другим, а можно взять наудачу два карандаша сразу. Замечательно, что в обоих случаях вероятность выбора каких-нибудь двух определенных карандашей вместе одинакова.

Отметим, что организовать действительно случайный выбор не просто. Для этого надо принимать специальные меры: бросать жребий, использовать специальные таблицы случайных чисел и т. п.

cyan с. 133magenta с. 133yellow с. 133black с. 133 Глава VII. Вероятности случайных событий Если выбор «как попало» поручить человеку, то выбор не окажется случайным. Многочисленные опыты показали, что равномерного распределения шансов при этом не получается. Например, если человек пытается по своему разумению осуществить случайный выбор ученика из списка класса, то чаще всего шансы учеников, стоящих первыми и последними в этом списке, будут ниже, чем у остальных.

В этом пункте объяснялось, что такое случайный выбор и где он применяется. Еще мы узнали, что существуют специальные методы для проведения случайного выбора.

1. Что называют случайным выбором?

2. Бросают правильную игральную кость. Можно ли считать такой способ случайным выбором одной из ее граней?

3. Бросают правильную монету. Можно ли считать такой способ случайным выбором одной из ее сторон?

4. Является ли выбор самого высокого ученика в классе случайным?

5. Группа детей состоит из двух мальчиков и четырех девочек. Из группы решили наудачу выбрать мальчика. Каковы при этом шансы девочек быть выбранными? Можно ли считать этот выбор случайным выбором ребенка из группы?

6. Приведите примеры случайного выбора.

7. Что называют выборкой?

8. Что такое последовательный способ формирования выборки?

9. Зачем для формирования выборки нужны специальные приемы случайного выбора?

Практическое задание Цель исследования. Установить, можно ли считать первую пришедшую в голову цифру от 0 до 9 случайной.

Ход исследования. В классе должно присутствовать по крайней мере 20 учащихся. Каждый ученик, приготовив заранее листок бумаги и ручку, по команде учителя, не задумываясь, быстро пишет на листке четыре первые пришедшие ему в голову цифры от 0 до 9.

Затем все листки сдаются учителю. Учитель сам или с помощником подсчитывает, сколько раз написана каждая из цифр. Полученные данные заносятся в таблицу.

Анализ результатов. Если выбор носит чисто случайный характер, то все цифры должны встретиться примерно одинаковое количество раз. Например,

если в классе 20 учеников, то всего получено 80 цифр. Тогда каждая цифра должна встречаться примерно 8 раз. Если цифра встречается менее 4 раз, то ее можно считать «редкой». Если цифра встретилась более 12 раз, то такая цифра «частая». Пользуясь построенной таблицей, ответьте на вопросы.

а) Есть ли в таблице «частые» и «редкие» цифры?

б) Попробуйте объяснить, какие исторические явления и культурные традиции связаны с числами 3 и 7. А с числом 8?

Сделайте вывод о том, можно ли считать первую пришедшую в голову цифру случайной.

38. Независимые события. Умножение вероятностей В жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда события некоторым образом связаны. По наступлению одного из них можно судить о более или менее вероятном наступлении другого. Например, если на небе тучи, то дождь более вероятен, чем в ясную погоду.

Если нам сказали, что на игральной кости выпало число, большее 4, то мы можем ожидать шестерку, но не можем ожидать число 3.

Бывают также события, которые явно не связаны друг с другом. По наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости явно не влияет на результат бросания второй кости. Про такие события в жизни обычно говорят, что они независимы. Оказывается, для таких событий справедлива очень важная формула P(A B) = P(A) · P(B).

Чтобы пояснить эту формулу, рассмотрим бросание двух игральных костей.

В этом опыте 36 элементарных событий. Все они нам хорошо известны: каждое элементарное событие — это пара чисел. Первое число — это число очков на первой кости; второе число — число очков на второй. Каждое число может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1.

Ясно, что результат бросания первой кости не влияет на результат бросания второй. Верно и обратное: результат бросания второй кости не влияет на результат бросания первой.

Пусть событие A — «на первой кости выпала шестерка». Тогда P(A) = 1.

Точно так же, пусть событие B — «на второй кости выпала шестерка». Вероятность P(B) также равна 1.

При бросании двух костей выпадение двух шестерок является событием A B. Этому событию благоприятствует ровно одно элементарное событие, и поэтому вероятность двух шестерок равна

Полученное равенство справедливо не только для указанных событий, но и для других событий A и B, относящихся по отдельности к первому и второму броскам.

В теории вероятностей выполнение равенства P(A B) = P(A) · P(B) взято за определение независимости событий1.

Определение. События A и B называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:

Чаще всего о независимости событий судят не по тому, выполняется или нет равенство P(A B) = P(A) · P(B), а по тому, как организован опыт, в котором эти события наступают. Независимые события возникают, когда случайный опыт состоит из нескольких независимых случайных испытаний. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Событие A — «на первой кости выпало более трех очков».

Событие B — «на второй кости выпало менее трех очков».

Будут ли события A и B независимыми?

Элементарные события, благоприятствующие событиям A, B и A B, даны в таблицах.

Зная число элементарных событий, благоприятствующих каждому событию, несложно обнаружить, что

1 Аналогично можно говорить о независимости трех, четырех и более событий. Если вероятность пересечения любого набора этих событий равна произведению их вероятностей, то события называются независимыми.

Заметим, что P(A) · P(B) = 1 · 1 = 1 = P(A B). Следовательно, события A и B независимы.

Независимые события могут встречаться не только при независимых испытаниях. Поясним это на примере.

Пример 2. Наудачу выбираем число из ряда 1, 2, 3, 4,.

. 100. Пусть событие A состоит в том, что это число четное; событие B — что это число делится на 5. Тогда событие A B состоит в том, что выбранное число делится и на 2, и на 5. Как известно, это означает, что выбранное число делится на 10.

Покажем, что события A и B независимы. Для этого надо вычислить вероятности P(A), P(B), P(A B) и убедиться в том, что для этих событий выполняется равенство P(A B) = P(A) · P(B).

Получаем P(A B) = P(A) · P(B).

Следовательно, события A и B независимы.

Обратим внимание, что при случайном выборе, скажем, из первых 99 натуральных чисел эти события уже не будут независимыми.

Мы уже отмечали, что события, относящиеся к двум различным броскам игральной кости, независимы. Эти события могут вместе составлять событие, относящееся к новому случайному опыту — бросанию двух костей.

Замечание. Из формулы P(A B) = P(A) · P(B) видно, что несовместные события независимы, если хотя бы одно из них невозможно. Это можно объяснить и так: если произошло одно из них, то мы заведомо знаем, что не произошло другое.

В этом пункте мы познакомились с независимыми событиями. Мы узнали, что независимость событий часто связана с независимостью опытов, в которых они наступают.

1. События U и V независимы. Найдите вероятность события

U V, если:

а) P(U) = 0,4, P(V ) = 0,6;

б) P(U) = 0,1, P(V ) = 0,8;

2. События K и L независимы. Найдите вероятность события K, если:

а) P(L) = 0,8, P(K L) = 0,48;

б) P(L) = 0,2, P(K L) = 0,08;

в) P(L) =, P(K L) =, где = 0;

г) P(L) = 1, P(K L) = + 1, где = 1.

3. События U, V и W независимы. Найдите вероятность события U V W, если:

а) P(U) = 0,4, P(V ) = 0,6, P(W ) = 0,5;

б) P(U) = 0,4, P(V ) = 0,3, P(W ) = 0,1;

4. События K, L и M независимы. Найдите вероятность события K, если:

а) P(L) = 0,8, P(M) = 0,6, P(K L M) = 0,096;

б) P(L M) = 0,1, P(K L M) = 0,06;

Читайте также:  Что за металл в российских монетах

в) P(M) = 2, P(L) = 2, P(K L M) = 4 4, где = 0 и = 0.

5. Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие C — «число четное». Являются ли события C и D независимыми, если событие

D состоит в том, что:

а) выбранное число делится на 3;

б) выбранное число делится на 5;

в) выбранное число делится на 4?

6. Бросают одну игральную кость. Событие A — «выпало четное число очков». Являются ли независимыми события A и B, если событие B состоит в том, что

а) выпало число очков, кратное 3;

б) выпало число очков, кратное 5?

7. Монету бросают два раза. Событие A — «первый раз выпал орел». Событие B — «второй раз выпал орел».

а) Выпишите все элементарные события этого случайного эксперимента.

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию A, и сколько — событию B?

в) Найдите вероятности событий A, B и A B.

г) Являются ли события A и B независимыми?

cyan с. 139magenta с. 139yellow с. 139black с. 139 Глава VII. Вероятности случайных событий

8. Монету бросают два раза. Событие A — «первый раз выпал орел». Событие B — «второй раз выпала решка».

а) Выпишите все элементарные события этого случайного эксперимента.

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию A, и сколько — событию B?

в) Найдите вероятности событий A, B и A B.

г) Являются ли события A и B независимыми?

9. Игральную кость бросают два раза. В таблице элементарных событий этого случайного эксперимента выделите элементарные события, благоприятствующие каждому из событий A, B и A B. Проверьте, являются ли события

A и B независимыми, если:

а) A — «на первой кости четное число очков», B — «на второй кости четное число»;

б) A — «на первой кости нечетное число очков», B — «на второй кости выпало 6».

10. Предположим, что вероятность встретить по дороге из школы черную кошку равна 0,1, а вероятность встретить злую собаку равна 0,3. Считая, что собака и кошка гуляют независимо друг от друга, найдите вероятность того, что по дороге из школы повстречаются и черная кошка, и злая собака.

11. Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в течение года, равна 0,2. Считая, что лампочки перегорают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что в течение года перегорят все лампочки в люстре, если в люстре:

а) две лампочки; б) три лампочки; в) пять лампочек.

12. На клавиатуре компьютера 105 клавиш. Найдите вероятность того, что обезьяна, нажав поочередно две клавиши случайным образом, напишет слово «ОЙ».

13. Из ящика, где хранятся 9 желтых и 15 зеленых карандашей, продавец, не глядя, вынимает один за другим 2 карандаша. Найдите вероятность того, что оба карандаша окажутся:

а) желтыми; б) зелеными.

14. Красная Шапочка несет пирожки от мамы к бабушке через темный лес.

На рис. 14 изображена схема дорожек в лесу. На каждой развилке Красная Шапочка наудачу выбирает одну из дорожек и идет по ней дальше. К дому бабушки ведет только один путь. Остальные приводят в болото или к Волку. Найдите вероятность того, что Красная Шапочка благополучно дойдет до бабушки.

15. У Ивана Ивановича есть компьютер, на котором он пишет книгу воспоминаний. Все клавиши на клавиатуре работают хорошо, и только клавиша

М работает неправильно. С вероятностью 1 при нажатии этой клавиши получается буква П, а с вероятностью 2 — буква М. Найдите вероятность того, что фраза «Много лет назад, когда я был маленьким мальчиком» будет написана правильно с первой попытки.

16. Монету бросают три раза. Событие A — «первые два раза выпал орел».

Событие B — «третий раз выпала решка».

а) Выпишите все элементарные события этого случайного эксперимента.

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию A, и сколько — событию B?

в) Найдите вероятности событий A, B и A B.

г) Являются ли события A и B независимыми?

17*. В классе 20 человек, из них 12 девочек. С помощью жребия из класса выбирают 4 дежурных. Найдите вероятность того, что все выбранные окажутся:

а) девочками; б) мальчиками.

18*. На кассе универмага продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зеленых леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди покупают по одному леденцу. Кассир, не глядя, достает леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что:

а) Таня и Ваня получат зеленые, а Маня — красный леденец;

а) Мишу вызовут к доске и на уроке математики, и на уроке русского языка;

б) Мишу не вызовут к доске ни на одном из этих уроков;

в) Мишу вызовут к доске хотя бы на одном из этих уроков.

25*. В некотором случайном эксперименте вероятность события A равна 0,4, вероятность события B равна 0,5. Известно, что события A и B независимы.

Найдите вероятность события A B.

«Петухова Г.А. Экология. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 221400.62 – управление качеством заочной формы обучения. Тюмень, 2015, 15 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: экология [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой. »

«СОДЕРЖАНИЕ Общие положения 1.1.1. Основная образовательная программа (ООП) бакалавриата, реализуемая Тамбовским государственным университетом имени Г.Р. Державина по направлению подготовки 080200.62 МЕНЕДЖМЕНТ профилю подготовки ЛОГИСТИКА И УПРАВЛЕНИЕ ЦЕПЯМИ ПОСТАВОК 4 1.2. Нормативные документы для разработки ООП бакалавриата по направлению подготовки 080200.62 МЕНЕДЖМЕНТ 1.3. Общая характеристика вузовской основной образовательной программы высшего профессионального образования (бакалавриат). »

«Содержание ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1. Основные характеристики ООП ВО 1.1. 3 Нормативные документы для разработки ООП ВО по направлению 1.2. подготовки Главная цель (миссия) реализации ООП ВО 1.3. Требования к абитуриенту 1.4. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 2. ВЫПУСКНИКА Область профессиональной деятельности выпускника 2.1. 9 Объекты профессиональной деятельности выпускника 2.2. 9 Виды профессиональной деятельности выпускника 2.3. 9 Задачи профессиональной деятельности выпускника 2.4. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт наук о Земле Кафедра физической географии и экологии Переладова Л.В.ГИДРОЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЮМЕНСКОГО РЕГИОНА Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 05.03.04 «Гидрометеорология», очной формы обучения Тюменский государственный университет Переладова Л.В. »

«Приказ Рослесхоза от 16.03.2009 N 81 Об утверждении методических документов (вместе с Методическими рекомендациями по. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИКАЗ от 16 марта 2009 г. N 81 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ МЕТОДИЧЕСКИХ ДОКУМЕНТОВ В целях обеспечения и осуществления профилактических и реабилитационных мероприятий в лесах, загрязненных радионуклидами, предусмотренных пунктом 5 Особенностей охраны лесов, разработки и осуществления профилактических и реабилитационных мероприятий в зонах. »

«СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения.1.1 Нормативные документы для разработки ППССЗ по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям) базового уровня подготовки.1.2 Общая характеристика ППССЗ по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).1.3 Требования к уровню подготовки, необходимому для освоения ППССЗ СПО.2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника 2.1 Область профессиональной деятельности выпускника. 2.2 Объекты профессиональной деятельности выпускника. 2.3 Виды профессиональной. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный университет» Колледж ФГБОУ ВПО «ВятГУ» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению заданий внеаудиторной самостоятельной работы студентов учебной дисциплины «Математика» по специальности 38.02.06 Финансы среднего профессионального образования (по программе базовой подготовки) Киров Разработана на основе федерального. »

«ПОСПЕЛИХИНСКИЙ РАЙОН АЛТАЙСКОГО КРАЯ МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПОСПЕЛИХИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 4» ПРИНЯТО : УТВЕРЖДАЮ: на педсовете МБОУ Директор школы «Поспелихинская СОШ №4» С.А.Гаращенко протокол № 1 от «27» августа 2014 г. приказ №129 «27» августа 2014г. ПРИЛОЖЕНИЕ К ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ НАЧАЛЬНОЙ СТУПЕНИ МУНИЦИПАЛЬНОГО БЮДЖЕТНГО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ «Поспелихинская СОШ № 4» на 2014-2015 учебный год Оглавление Календарный учебный график. »

«Правила участия в акции Акция «100 кг макулатуры спасают 1 дерево!» Участник акции – учебное заведение, далее Участник, Организатор акции – ООО «Втор-Ком», далее Организатор.1. Участником акции может стать любое учебное заведение города Челябинска и области. Для этого необходимо ответственному лицу в срок до 15.09.2014 г. подать заявку на участие в и начать собор макулатуры. Контактная информация: телефон-факс 729-96-91, 791-19-44, электронная почта: wtor-kom@mail.ru, координатор акции Мымрина. »

«М. В. Аргунова, Д. С. Ермаков, Т. А. Плюснина, И. И. Тюхов, М. А. Шахраманьян ЭКОЛОГИЯ В МИРЕ ПРОФЕССИЙ Методические рекомендации для учителей Москва 201 УДК ББК А7 Рекомендовано к изданию Учёным советом государственного автономного образовательного учреждения высшего образования города Москвы «Московский институт открытого образования»Рецензенты: Моргун Д. В., канд. биол. наук, канд. филос. наук, директор Московского детско-юношеского центра экологии, краеведения и туризма Родионова Т. К. »

«Содержание 1. ЦЕЛЬ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ. 3 2. ЗАДАЧИ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ. 3. МЕСТО ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 4. СПОСОБЫ И ФОРМЫ ПРОВЕДЕНИЯ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ.. 4 5. ЗАДАНИЕ И КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ.. 4 6. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ. 4 7. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ.. 5 8. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ, НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ И НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ. »

«Список изданий за I кв. 2014 года Антамошкина, Ольга Игоревна. Управление маркетингом [Текст] : 1. учебное пособие по курсу Управление маркетингом для стулентов специальности 061500 Маркетинг / О. И. Антамошкина ; М-во сел. хоз-ва Рос. Федерации, Краснояр. гос. аграр. ун-т. Красноярск : КрасГАУ, 2006. 176 с. ; 21 см. Библиогр.: с. 165. 110 экз. (в пер.) : 131.69 р., Антонова, Наталья Владимировна (1954 -). Управление болонским 2. процессом [Текст] : [монография] / Н. В. Антонова, Ж. Н. Шмелева. »

«Уральский технологический колледж – филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» «Производственная практика студентов СПО: проблемы и модели реализации» Региональный семинар г. Заречный, Свердловская область февраль, 2015 ББК 74.5 П 80 Производственная практика студентов СПО: проблемы и модели реализации : материалы регионального семинара. 27 февраля 2015 г. / сост. Л. П. Егорова, Е. А. Коровина. – Заречный : УрТК НИЯУ МИФИ, 2015. – 40 с. В сборнике представлены. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА» (ФГОУВПО «РГУТиС») Факультет сервиса Кафедра Информационные системы УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе, д.э.н., профессор _Новикова Н.Г. «»20г. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОГО ПРОЕКТА Дисциплина ОПД.Р.01 «Теоретические основы информационных систем» Специальность 230201 «Информационные системы. »

«ПРОГРАММА ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО СБОРУ МАТЕРИАЛА К ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 250401.65 «ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО» Хабаровск 2007 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет ПРОГРАММА ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО СБОРУ МАТЕРИАЛА К ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 250401.65 «ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ. »

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по английскому языку для 10 класса составленна на основе следующих нормативных документов: Федеральный компонент государственного стандарта среднего (полного) общего образования; Примерная программа среднего (полного) общего образования по иностранным языкам (английский язык); Авторская программа курса английского языка к УМК «Spotlight» для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений (авторы О.В.Афанасьева, ДЖ.Дули, И.В.Михеева, Б.Оби, В.Эванс. »

«Частное учреждение высшего образования «Высшая школа предпринимательства (институт)» (ЧУВО «ВШП») РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ПРАКТИКА ПО НАПРАВЛЕНИЮ 080200.62 – МЕНЕДЖМЕНТ Квалификация – бакалавр Форма обучения – очная, заочная ПРИНЯТО УТВЕРЖДАЮ Протокол заседания ученого Ректор ЧУВО «ВШП» совета ЧУВО «ВШП» Подпись _ Аллабян М.Г. №01 от «25» сентября 2015 г. М.П. «25» сентября 2015 г. Тверь, 2015 г. ( )( ) ( Содержание 1. ЦЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ 3 2. ЗАДАЧИ. »

«Региональная общественная организация социальных проектов в сфере благополучия населения «Стеллит» Национальный институт здоровья и благополучия Финляндии Калининградская региональная детско-молодежная общественная организация «Юная лидерская армия» (ЮЛА) Общественный Комитет по СПИДу Балтийская Ассоциация по вопросам ВИЧ-инфекции ПРОФИЛАКТИКА ВИЧ-ИНФЕКЦИИ И АССОЦИИРОВАННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ СРЕДИ ПОДРОСТКОВ И МОЛОДЕЖИ, В ВЫСОКОЙ СТЕПЕНИ ПОДВЕРЖЕННЫХ РИСКУ ЗАРАЖЕНИЯ Научно-методическое пособие. »

«СОДЕРЖАНИЕ Общие положения I. Характеристика направления подготовки II. 3 Характеристики профессиональной деятельности выпускников III..4 Результаты освоения образовательной программы IV..5 V. Структура образовательной программы..6 Примерный базовый учебный план 5.1..6 Оценка качества освоения образовательной программы 5.2.7 Примерный календарный учебный график 5.3..8 5.4 Основы формирования рабочих программ дисциплин (модулей).8 Основы формирования программы ГИА 5.5..10 VI. »

«. УДК 514 ББК 22.1 А92 Атанасян С. Л. А92 Геометрия 2 : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под ред. С. Л. Атанасяна. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — 544 с. : ил. ISBN 978-5-9963-0511-7 В учебнике собран материал второй части единого курса геометрии, изучение которого необходимо будущему учителю математики для успешной работы со школьниками. Изложение теоретического материала проиллюстрировано типовыми примерами. Для студентов. »

2016 www.metodichka.x-pdf.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Источник